क्लास 12th maths प्री बोर्ड 🔥🔥

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★ (The Name of Quality Education) ★

अभ्यास प्रश्न पत्र - 2026 (Model Paper)

विषय: उच्च गणित (Mathematics) | कक्षा: 12वीं

समय: 3 घंटे | पूर्णांक: 80

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निर्देश (Instructions):

 * सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।

 * प्रश्न 1 से 5 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं (उत्तर साथ में दिए गए हैं)।

 * जहाँ 🔥 लगा है, वे Rishi Coaching Centre द्वारा सुझाए गए Most Important प्रश्न हैं।

★ खण्ड - अ (वस्तुनिष्ठ प्रश्न) ★

(Rishi Coaching Centre Special Practice Set)

Q.1. सही विकल्प चुनकर लिखिए (Choose the correct option): [1\times6=6]

(i) यदि A=\{1,2,3\} हो तो ऐसे संबंध जिनमें अवयव (1,2) तथा (1,3) हों और जो स्वतुल्य तथा सममित हैं किंतु संक्रामक नहीं हैं, की संख्या है:

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

(ii) \cos^{-1}x की मुख्य शाखा का परिसर (Range) है:

(a) (0,\pi) (b) [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] (c) R (d) [0,\pi]

(iii) यदि एक आव्यूह A के लिए A=-A' हो, तो A है:

(a) सममित आव्यूह (b) विषम सममित आव्यूह (c) शून्य आव्यूह (d) तत्समक आव्यूह

(iv) यदि P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{4} और A तथा B स्वतंत्र घटनाएं हैं तो P(A \cap B) होगा:

(a) \frac{1}{8} (b) \frac{1}{2} (c) \frac{3}{4} (d) 0

(v) यदि A एक स्तंभ आव्यूह (Column Matrix) है तो A का परिवर्त (Transpose) होगा:

(a) स्तंभ आव्यूह (b) पंक्ति आव्यूह (c) वर्ग आव्यूह (d) शून्य आव्यूह

(vi) अंतराल [0, \frac{\pi}{4}] में \sin x का उच्चतम मान है:

(a) \frac{\sqrt{3}}{2} (b) 1 (c) \frac{1}{2} (d) \frac{1}{\sqrt{2}}

> ✅ उत्तर (Answers): i) b, ii) d, iii) b, iv) a, v) b, vi) d

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Q.2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (Fill in the blanks): [1\times6=6]

(i) f: X \rightarrow Y एक आच्छादक (onto) फलन है यदि और केवल यदि f का परिसर = ______

(ii) दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह A और B के लिए (AB)^{-1} = ______

(iii) अवकल समीकरण \frac{dy}{dx}=2 का व्यापक हल ______ होगा।

(iv) सदिश \vec{a}=2\hat{i}+3\hat{j} की दिशा में इकाई सदिश ______ होगा।

(v) अवकल समीकरण 2x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+5=0 की घात (Degree) ______ है।

(vi) \sin 2x का अवकलन गुणांक ______ होता है।

> ✅ उत्तर: (i) Y (सहप्रांत), (ii) B^{-1}A^{-1}, (iii) y=2x+c, (iv) \frac{2\hat{i}+3\hat{j}}{\sqrt{13}}, (v) 1, (vi) 2\cos 2x

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Q.3. सत्य / असत्य लिखिए (True / False): [1\times6=6]

(i) एक फलन f:X\rightarrow Y एकैकी है यदि f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}।

(ii) अवकल समीकरण x\frac{dy}{dx}-y=2x^{2} का समाकलन गुणक e^x है।

(iii) \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx का मान \frac{\pi}{4} के बराबर है।

(iv) सदिश \vec{a}=\hat{j} तथा \vec{b}=\hat{i} के मध्य कोण का मान \pi है।

(v) X-अक्ष के दिक् कोसाइन 1,0,0 हैं।

(vi) फलन f(x)=5x^{3}-7x+13 अंतराल [-5,5] में एक संतत फलन है।

> ✅ उत्तर: (i) सत्य, (ii) असत्य, (iii) सत्य, (iv) असत्य, (v) सत्य, (vi) सत्य

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📚 Rishi Coaching Centre - Important Concepts 📚

Q.4. सही जोड़ी बनाइये (Match the Columns): [1\times7=7]

(i) \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cot x dx -> (d) \frac{1}{2}\log 2

(ii) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin x dx -> (e) 1

(iii) \int_{1}^{2}\sqrt{x^{2}-1}dx -> (f) \sqrt{3}-\frac{1}{2}\log(2+\sqrt{3})

(iv) \int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx -> (d) \log 2 (Option adjusted)

(v) \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx -> (c) \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}

(vi) \int (a^{2}+x^{2})dx -> (b) a^2x + \frac{x^3}{3}

(vii) \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sec x \tan x dx -> (a) \sqrt{2}-1

Q.5. एक वाक्य/शब्द में उत्तर (One Word Answer): [1\times7=7]

(i) 2 \sin^{-1}(\frac{1}{2}) का मान ज्ञात कीजिए।

(ii) यदि A=\begin{bmatrix}2&0\\ 0&3\end{bmatrix} तो adj A का मान लिखिए।

(iii) यदि A=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&0\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}3&0\\ 0&0\end{bmatrix} तो A'B का मान लिखिए।

(iv) वृत्त की त्रिज्या के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर लिखिए।

(v) अवकल समीकरण \frac{dy}{dx}=e^{x+y} का व्यापक हल लिखिए।

(vi) यदि \vec{a}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k} और \vec{b}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k} तो \vec{a}.\vec{b} ज्ञात कीजिए।

(vii) P(A|B) ज्ञात करें यदि P(B)=0.7, P(A \cap B)=0.1.

> ✅ उत्तर: (i) \pi/3, (ii) \begin{bmatrix}3&0\\ 0&2\end{bmatrix}, (iii) \begin{bmatrix}3&0\\ 0&0\end{bmatrix}, (iv) 2\pi r, (v) e^{-y}=e^x+c, (vi) 10, (vii) 1/7.

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★ (2 अंकीय महत्वपूर्ण प्रश्न) ★

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Q.6. सिद्ध कीजिए कि फलन f:R\rightarrow R, f(x)=2x एकैकी आच्छादक है।

अथवा

दिखाइये कि आच्छादक फलन f:\{1,2,3\}\rightarrow\{1,2,3\} हमेशा एकैकी है।

> 🔥 Rishi Coaching Special (Ch-1):

> * 🔥 जाँच करें कि R में R = \{(a, b): a \le b^2\} न तो स्वतुल्य है, न सममित और न ही संक्रामक।

> * 🔥 यदि f: R \to R, f(x) = (3 - x^3)^{1/3} हो, तो fof(x) ज्ञात करें।

> * 🔥 सिद्ध करें कि पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = \{(a, b): 2, (a-b) \text{ को विभाजित करता है}\} एक तुल्यता संबंध है।

> * 🔥 f(x) = 4x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन f: R \to R पर विचार करें। सिद्ध करें कि f व्युत्क्रमणीय है।

> 

Q.7. सिद्ध करें: 3 \sin^{-1}x = \sin^{-1}(3x-4x^{3}), x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]।

अथवा

\cot^{-1}\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}, |x|>1 का सरलतम रूप लिखिए।

Q.8. \sin^{-1}(\sin\frac{3\pi}{5}) का मान ज्ञात कीजिए।

अथवा

\cos^{-1}(\cos\frac{13\pi}{6}) का मान ज्ञात कीजिए।

> 🔥 Rishi Coaching Special (Ch-2):

> * 🔥 सिद्ध कीजिए: \tan^{-1}\frac{2}{11} + \tan^{-1}\frac{7}{24} = \tan^{-1}\frac{1}{2}

> * 🔥 x के लिए हल करें: \tan^{-1}\frac{1-x}{1+x} = \frac{1}{2}\tan^{-1}x, (x>0)

> * 🔥 \tan^{-1}(\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}) का सरलतम रूप लिखें।

> * 🔥 \sin(\sec^{-1}x + \text{cosec}^{-1}x) का मान ज्ञात कीजिए।

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Q.9. फलन \cos[\sin(x^{3})] का x के सापेक्ष अवकलन गुणांक ज्ञात कीजिए।

अथवा

फलन \sin[\cos(x^{4})] का x^3 के सापेक्ष अवकलन गुणांक ज्ञात कीजिए।

Q.10. दिखाइये कि फलन f(x)=x^{2}-3x+17, R में वर्धमान फलन है।

अथवा

दिखाइये कि फलन f(x)=17x-5, R में वर्धमान फलन है।

Q.11. एक वृत्त की त्रिज्या में परिवर्तन की दर 0.7 cm/s है। परिधि में परिवर्तन की दर ज्ञात करें।

अथवा

एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, व्यास \frac{3}{2}(2x+1) है। आयतन परिवर्तन की दर ज्ञात करें।

> 🔥 Rishi Coaching Special (Ch-5 & 6):

> * 🔥 k का मान ज्ञात करें यदि f(x) = kx+1 (x \le 5) और 3x-5 (x > 5) बिंदु x=5 पर संतत है।

> * 🔥 यदि y = (\log x)^x + x^{\log x} हो, तो dy/dx ज्ञात करें।

> * 🔥 वक्र x^{2/3} + y^{2/3} = 2 के बिंदु (1,1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करें।

> * 🔥 ऐसी दो धन संख्याएं ज्ञात करें जिनका योग 15 है और जिनके वर्गों का योग न्यूनतम है।

> 

Q.12. अवकल समीकरण x\frac{dy}{dx}+2y=x^{2}\log x का समाकलन गुणक (I.F.) ज्ञात कीजिए।

अथवा

\frac{dy}{dx}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}} का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

Q.13, Q.14, Q.15 (सदिश और 3D से संबंधित )।

> 🔥 Rishi Coaching Special (Vector & 3D):

> * 🔥 दर्शाइए कि बिंदु A(1, 2, 7), B(2, 6, 3) और C(3, 10, -1) संरेख हैं।

> * 🔥 यदि \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 तथा |\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7 तो \vec{a} और \vec{b} के बीच का कोण ज्ञात करें।

> * 🔥 उस समतल का समीकरण ज्ञात करें जो बिंदुओं (1, 1, -1), (6, 4, -5) और (-4, -2, 3) से गुजरता है।

> * 🔥 रेखा \frac{x+1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z-3}{6} और समतल 10x + 2y - 11z = 3 के बीच का कोण ज्ञात करें।

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★ (3 अंकीय प्रश्न) ★

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Q.16. आव्यूह X ज्ञात कीजिए, यदि X\begin{bmatrix}1&2&3\\ 4&5&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9&12&15\\ 19&26&33\end{bmatrix}।

अथवा

यदि A=\begin{bmatrix}1\\ -4\\ 3\end{bmatrix} और B=\begin{bmatrix}-1&2&1\end{bmatrix} सत्यापित कीजिए (AB)' = B'A'।

Q.17. समाकलन का प्रयोग करते हुए दीर्घवृत्त \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

अथवा

x=0 एवं x=2\pi के मध्य वक्र y=\sin x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Q.18. आलेखीय विधि द्वारा हल करें: Maximize Z=75x+y subject to 5x + y \le 100, x + y \le 60, x,y \ge 0.

अथवा

Maximize Z=4x+y subject to x+y \le 50, 3x+y \le 90, x,y \ge 0.

Q.19. प्रायिकता (Probability) का प्रश्न: एक व्यक्ति 4 में से 3 बार सत्य बोलता है... (Bayes Theorem)।

अथवा

पासे को दो बार उछाला गया, योग 6 है। संख्या 4 के कम से कम एक बार आने की सप्रतिबंध प्रायिकता।

> 🔥 Rishi Coaching Special (Probability & Integration):

> * 🔥 \int \frac{2x}{(x^2+1)(x^2+3)} dx का मान ज्ञात कीजिए।

> * 🔥 \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx का मान ज्ञात कीजिए।

> * 🔥 यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और P(B|A) = 0.4 है, तो P(A \cup B) ज्ञात कीजिए।

> * 🔥 एक अनभिनत पासे को फेंकने पर, यदि घटना A 'विषम संख्या आना' और B '3 का गुणज आना' है, तो क्या A और B स्वतंत्र हैं?

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★ (4 अंकीय दीर्घ उत्तरीय प्रश्न) ★

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Q.20. a तथा b का मान ज्ञात करें यदि फलन f(x) संतत हो:

f(x) = 5 (x \le 2), ax+b (2 < x < 10), 21 (x \ge 10)।

अथवा

यदि x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=81 तो \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए।

Q.21. समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए:

\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{10}{z}=4; \quad \frac{4}{x}-\frac{6}{y}+\frac{5}{z}=1; [span_68](start_span)\quad \frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{20}{z}=2

अथवा

प्याज, गेहूँ और चावल के मूल्य वाला प्रश्न आव्यूह विधि से हल करें।

> 🔥 Rishi Coaching Special (Matrix/Determinant):

> * 🔥 यदि A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix} है, तो A^{-1} ज्ञात करें और दिए गए समीकरण निकाय को हल करें।

> * 🔥 सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध करें: \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ x^2 & 1 & x \\ x & x^2 & 1 \end{vmatrix} = (1-x^3)^2

> * 🔥 प्रारंभिक संक्रियाओं (Elementary Operations) का प्रयोग कर A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} का व्युत्क्रम ज्ञात करें।

> * 🔥 सिद्ध कीजिए \begin{vmatrix} x+y+2z & x & y \\ z & y+z+2x & y \\ z & x & z+x+2y \end{vmatrix} = 2(x+y+z)^3

> 

Q.22. \int_{2}^{8}|x-5|dx का मान ज्ञात कीजिए।

अथवा

\int\sqrt{1+3x-x^{2}} dx का मान ज्ञात कीजिए।

Q.23. रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी (Shortest Distance) ज्ञात कीजिए।

अथवा

बिंदु (1,2,-4) से जाने वाली और दी गई रेखाओं पर लंब रेखा का समीकरण।

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🙏 BEST OF LUCK

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"Practice Makes A Man Perfect"

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🔥 महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न 🔥

(1-1 अंक वाले सुपरफास्ट रिवीज़न)

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अध्याय 7: समाकलन (Integrals) - [सबसे ज्यादा महत्वपूर्ण 'सही जोड़ी' के लिए]

(ब पूरी 'सही जोड़ी' इसी चैप्टर से है, इसलिए ये सूत्र रट लें)

 * \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C

 * \int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C

 * \int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx = \sec^{-1}x + C

 * \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C 🔥 (Very Important)

 * \int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + C

 * \int \tan x dx = \log |\sec x| + C

 * \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx (गुणधर्म P4) 🔥

अध्याय 3 और 4: आव्यूह और सारणिक (Matrices & Determinants)

(सत्य/असत्य और सही विकल्प के लिए)

 * प्रश्न: यदि A एक वर्ग आव्यूह है और A = A' हो, तो A कहलाता है?

   * उत्तर: सममित आव्यूह (Symmetric Matrix).

 * प्रश्न: यदि A = -A' हो, तो A कहलाता है?

   * उत्तर: विषम सममित आव्यूह (Skew-symmetric).

 * प्रश्न: 3 \times 3 कोटि के आव्यूह A के लिए |kA| का मान होगा?

   * उत्तर: k^3 |A| 🔥

 * प्रश्न: (AB)^{-1} बराबर होता है?

   * उत्तर: B^{-1}A^{-1}

 * प्रश्न: यदि A व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो |A^{-1}| का मान?

   * उत्तर: \frac{1}{|A|}

अध्याय 10 और 11: सदिश और त्रिविमीय ज्यामिति (Vector & 3D)

(रिक्त स्थान और एक शब्द के लिए)

 * प्रश्न: X, Y, Z अक्षों की दिक् कोसाइन (Direction Cosines) क्रमशः क्या होती हैं?

   * उत्तर: X(1,0,0), Y(0,1,0), Z(0,0,1)

 * प्रश्न: दो सदिश \vec{a} और \vec{b} परस्पर लंबवत (Perpendicular) होंगे यदि?

   * उत्तर: \vec{a} . \vec{b} = 0 🔥

 * प्रश्न: दिक् कोसाइन l, m, n में संबंध लिखिए।

   * उत्तर: l^2 + m^2 + n^2 = 1

 * प्रश्न: बिंदु (x, y, z) की मूल बिंदु से दूरी का सूत्र?

   * उत्तर: \sqrt{x^2+y^2+z^2}

 * प्रश्न: सदिश \vec{a} \times \vec{a} का मान क्या होता है?

   * उत्तर: \vec{0} (शून्य सदिश)

अध्याय 9: अवकल समीकरण (Differential Equations)

(रिक्त स्थान और सत्य/असत्य के लिए)

 * प्रश्न: अवकल समीकरण \frac{dy}{dx} + Py = Q का समाकलन गुणक (I.F.) क्या है?

   * उत्तर: e^{\int P dx} 🔥 (Most Repeated)

 * प्रश्न: अवकल समीकरण 2x(\frac{d^2y}{dx^2})^2 + (\frac{dy}{dx})^3 = 0 की कोटि (Order) और घात (Degree) क्या है?

   * उत्तर: कोटि = 2, घात = 2

 * प्रश्न: e^x \frac{dy}{dx} = 1 का व्यापक हल?

   * उत्तर: y = -e^{-x} + C

अध्याय 1 और 2: संबंध, फलन और प्रतिलोम त्रिकोणमिति

 * प्रश्न: \sin^{-1}(\sin x) = x कब होता है? (परिसर)

   * उत्तर: जब x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]

 * प्रश्न: \tan^{-1}x + \cot^{-1}x का मान?

   * उत्तर: \frac{\pi}{2}

 * प्रश्न: यदि f(x) = x_1 \Rightarrow x_1 = x_2 हो, तो फलन क्या कहलाता है?

   * उत्तर: एकैकी (One-one)

 * प्रश्न: स्वतुल्य संबंध की शर्त?

   * उत्तर: (a, a) \in R सभी a \in A के लिए।

अध्याय 13: प्रायिकता (Probability)

 * प्रश्न: यदि A और B स्वतंत्र घटनाएं (Independent Events) हैं, तो P(A \cap B) का सूत्र?

   * उत्तर: P(A) \cdot P(B) 🔥

 * प्रश्न: P(A|B) का सूत्र?

   * उत्तर: \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

 * प्रश्न: किसी घटना के घटित होने और न घटित होने की प्रायिकताओं का योग?

   * उत्तर: 1 (P(E) + P(E') = 1)

ऋषि सर की टिप: ब्लूप्रिंट के अनुसार, समाकलन के सूत्र और सदिशों के

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