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गणित (MATHEMATICS)
(Hindi & English Versions)
समय: 3 घंटे | पूर्णांक: 75 | कुल प्रश्न: 23
निर्देश:
* सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
* प्रश्न क्रमांक 1 से 5 तक वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न हैं।
* प्रश्न क्रमांक 6 से 23 में आंतरिक विकल्प दिए गए हैं।
* हर प्रश्न के नीचे, उसी अध्याय से जुड़े दो अतिरिक्त अत्यंत महत्वपूर्ण प्रश्न (\star\star\star\star\star चिन्हित) दिए गए हैं।
1. सही विकल्प चुनकर लिखिए: (Choose the correct option and write it): (1 \times 6 = 6)
(i) संख्याओं 6 और 20 का H.C.F. होगा
(a) 2
(b) 6
(c) 20
(d) 1
उत्तर: (a) 2
(ii) यदि \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}} हो, तो समीकरण निकाय a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 तथा a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 का:
(a) एक अद्वितीय हल होगा
(b) दोनों हल होंगे
(c) कोई भी हल नहीं होगा
(d) अनंततः अनेक हल होंगे
उत्तर: (d) अनंततः अनेक हल होंगे
(iii) द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 के मूल वास्तविक और बराबर होंगे यदि:
(a) b^{2}-4ac>0
(b) b^{2}-4ac=0
(c) b^{2}-4ac<0
(d) b^{2}-4ac^{2}=0
उत्तर: (b) b^{2}-4ac=0
(iv) A. P. 2, 4, 6, \dots का 10वाँ पद है:
(a) 2
(b) 18
(c) 20
(d) 22
उत्तर: (c) 20
(v) बिंदु (2, 3) तथा (4, 1) के बीच दूरी है:
(a) \sqrt{8}
(b) 3\sqrt{3}
(c) 3\sqrt{2}
(d) 2\sqrt{3}
उत्तर: (a) \sqrt{8}
(vi) एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखा हो सकती है?
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) अनन्त
उत्तर: (d) अनन्त
2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए: (Fill in the blanks): (1 \times 6 = 6)
(i) \sqrt{2} एक अपरिमेय संख्या है।
(ii) एक बहुपद जिसकी घात 3 है, वह त्रिघाती बहुपद कहलाता है।
(iii) A. P.: \frac{3}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}, \dots का सार्व अंतर d= -1 है।
(iv) सभी सर्वांगसम त्रिभुज समरूप होते हैं।
(v) वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदन रेखा (Secant) कहते हैं।
(vi) किसी घटना E के लिए $P(E) + P(\bar{E}) = $ 1 है।
3. निम्नलिखित में सत्य / असत्य लिखिए: (Write True / False in the following): (1 \times 6 = 6)
(i) समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल सदैव बराबर होते हैं। (असत्य)
(ii) 1, 2, 1, 3, \dots एक समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) नहीं है। (सत्य)
(iii) किसी बिंदु की y-अक्ष से दूरी उस बिंदु का y-निर्देशांक होती है। (असत्य)
(iv) शंकु का आयतन \pi r^{2} है। (असत्य)
(v) घटना E की प्रायिकता एक ऐसी संख्या P(E) है कि 0\le P(E)\le1. (सत्य)
(vi) दीर्घवृत्त खण्ड का क्षेत्रफल संगत त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से कम होता है। (असत्य)
4. सही जोड़ी मिलाइए: (Match the correct column): (1 \times 6 = 6)
| स्तम्भ - "A" | स्तम्भ - "B" |
|---|---|
| (i) 9 \sec^{2}A - 9 \tan^{2}A | (f) 9 |
| (ii) \cos 0 | (e) 1 |
| (iii) \sin 0 (a) 0 |
| (iv) \theta कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल | (b) \frac{\theta}{360}\times\pi r^{2} |
| (v) अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल | (c) 2\pi r^{2} |
| (vi) अर्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल | (d) 3\pi r^{2} |
| उत्तर क्रम: (i) - (f), (ii) - (e), (iii) - (a), (iv) - (b), (v) - (c), (vi) - (d) | |
5. प्रत्येक का एक शब्द / वाक्य में उत्तर लिखिए: (Write the answer in one word / sentence of each): (1 \times 6 = 6)
(i) द्विघात समीकरण का मानक रूप लिखिए।
उत्तर: ax^{2}+bx+c=0 (जहाँ a \ne 0)
(ii) दो त्रिभुजों के समरूप होने की कोई एक शर्त लिखिए।
उत्तर: उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों। (SSS समरूपता) या उनके संगत कोण बराबर हों। (AAA समरूपता)
(iii) मूलबिंदु (0, 0) से बिंदु (x_{1},y_{1}) की दूरी लिखिए।
उत्तर: \sqrt{x_{1}^2 + y_{1}^2}
(iv) किसी खंभे की छाया तथा ऊँचाई समान होने पर सूर्य का उन्नयन कोण कितना होगा?
उत्तर: 45^{\circ}
(v) \theta कोण एवं r त्रिज्या वाले त्रिज्यखंड के संगत चाप की लंबाई का सूत्र लिखिए।
उत्तर: \frac{\theta}{360^{\circ}}\times 2\pi r
(vi) वर्ग 20-40 का वर्ग चिह्न (मध्य बिंदु) लिखिए।
उत्तर: 30
6. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा 96 और 404 का H.C.F. ज्ञात कीजिए। (2)
Find the H.C.F. of 96 and 404 by prime factorisation method.
अथवा / OR
संख्या 148 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए। (2)
Express the number 148 as a product of its prime factors.
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star दर्शाइए कि 3\sqrt{2} एक अपरिमेय संख्या है। (Show that 3\sqrt{2} is an irrational number.)
* \star\star\star\star\star संख्याओं 6, 72 और 120 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा H.C.F. और L.C.M. ज्ञात कीजिए। (Find the H.C.F. and L.C.M. of 6, 72 and 120 by prime factorisation method.)
7. अंकगणित का आधारभूत प्रमेय का कथन लिखिए। (2)
Write the statement of fundamental theorem of Arithmetic.
अथवा / OR
व्याख्या कीजिए कि 7\times11\times13+13 और 7\times6\times5\times4\times3\times2\times1+5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं। (2)
Explain, why 7\times11\times13+13 and 7\times6\times5\times4\times3\times2\times1+5 are composite numbers.
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star सिद्ध कीजिए कि \sqrt{5} एक अपरिमेय संख्या है। (Prove that \sqrt{5} is an irrational number.)
* \star\star\star\star\star H.C.F. (306, 657) = 9 दिया है। L.C.M. (306, 657) ज्ञात कीजिए। (Given that H.C.F. (306, 657) = 9, find L.C.M. (306, 657).)
8. किसी बहुपद P(x) के लिए, y=P(x) का ग्राफ नीचे दिया है। इस स्थिति में P(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए। (2)
The graph y=P(x) is given below for some polynomial P(x). Find the number of zeroes of P(x) in this case.
अथवा / OR
द्विघात बहुपद x^{2}-3x-10 के शून्यक ज्ञात कीजिए। (2)
Find the zeroes of the Quadratic Polynomial x^{2}-3x-10.
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः \sqrt{2} और \frac{1}{3} हैं। (Find a quadratic polynomial, the sum and product of whose zeroes are \sqrt{2} and \frac{1}{3} respectively.)
* बहुपद p(x) = x^2 + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए। (Find the zeroes of the polynomial p(x) = x^2 + 7x + 10 and verify the relationship between the zeroes and the coefficients.)
9. 4u^{2}+8u के शून्यक ज्ञात कीजिए। (2)
Find the zeroes of 4u^{2}+8u.
अथवा / OR
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः -\frac{1}{4} और \frac{1}{4} हैं। (2)
Find a quadratic polynomial, if the sum and product of whose zeroes are -\frac{1}{4} and \frac{1}{4} respectively.
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, P(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3 को g(x) = x^2 - 2 से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए। (Apply the division algorithm to find the quotient and remainder on dividing P(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3 by g(x) = x^2 - 2.)
* यदि बहुपद x^2 - 8x + k के शून्यकों के वर्गों का योग 40 हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए। (If the sum of the squares of zeroes of the polynomial x^2 - 8x + k is 40, find the value of k.)
10. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए: (2)
x+2y=8
x-y=8
Solve the following pair of linear equations:
अथवा / OR
अनुपातों \frac{a_{1}}{a_{2}},\frac{b_{1}}{b_{2}},\frac{c_{1}}{c_{2}} की तुलना कर ज्ञात कीजिए की रेखीय समीकरण युग्म 2x-3y=8 व 4x-6y=9 संगत हैं या असंगत हैं। (2)
On comparing ratios \frac{a_{1}}{a_{2}},\frac{b_{1}}{b_{2}},\frac{c_{1}}{c_{2}} , find out whether the pair of linear equations 2x-3y=8 and 4x-6y=9 are consistent or inconsistent.
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star ग्राफ द्वारा जाँच कीजिए कि रैखिक समीकरणों का युग्म x + 3y = 6 और 2x - 3y = 12 संगत है। यदि ऐसा है, तो उन्हें ग्राफ द्वारा हल कीजिए। (Check graphically whether the pair of linear equations x + 3y = 6 and 2x - 3y = 12 is consistent. If so, solve them graphically.)
* \star\star\star\star\star विलोपन विधि का प्रयोग करके, समीकरण युग्म 3x + 4y = 10 और 2x - 2y = 2 को हल कीजिए। (Solve the pair of equations 3x + 4y = 10 and 2x - 2y = 2 using the elimination method.)
11. A. P. : 2, 7, 12, \dots का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए। (2)
Find the 10^{th} term of the A.P. : 2, 7, 12, \dots
अथवा / OR
A. P. 21, 18, 15, \dots का कौन-सा पद -81 है? (2)
Which term of the A.P. 21, 18, 15, \dots is -81?
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star उस A. P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है। (Find the 31st term of an A.P. whose 11th term is 38 and the 16th term is 73.)
* A. P. 8, 3, -2, \dots के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए। (Find the sum of the first 22 terms of the A. P. 8, 3, -2, \dots)
12. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) का कथन लिखिए। (2)
Write the statement of Basic Proportionality Theorem.
अथवा / OR
आकृति में यदि OA \cdot OB = OC \cdot OD है, दर्शाइए कि \angle A = \angle C और \angle B = \angle D है। (2)
In fig. if OA \cdot OB = OC \cdot OD, show that \angle A = \angle C and \angle B = \angle D.
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star एक 6 \text{ m} लंबाई वाले ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 \text{ m} है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 \text{ m} है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (A vertical pole of length 6 \text{ m} casts a shadow 4 \text{ m} long on the ground, and at the same time a tower casts a shadow 28 \text{ m} long. Find the height of the tower.)
* \star\star\star\star\star सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। (Prove that the ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.)
13. y-अक्ष पर एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं A(6, 5) और B(-4, 3) से समदूरस्थ हो। (2)
Find a point on the y-axis which is equidistant from the points A(6, 5) and B(-4, 3).
अथवा / OR
बिंदुओं (a, b) और (-a, -b) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (2) [cite_start][cite: 53]
Find the distance between the points (a, b) and (-a, -b).
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star बिंदुओं A(2, -2) और B(-7, 4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (Find the coordinates of the points of trisection of the line segment joining A(2, -2) and B(-7, 4).)
* \star\star\star\star\star उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, -1), (-4, 6) और (-3, -5) हैं। (Find the area of the triangle whose vertices are (1, -1), (-4, 6) and (-3, -5).)
14. यदि \cos A = \frac{3}{5} हो, तो \sin A और \tan A का मान ज्ञात कीजिए। (2)
If \cos A = \frac{3}{5}, find the value of \sin A and \tan A.
अथवा / OR
मान ज्ञात कीजिए: (2)
\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan^{2} 30^{\circ}}
Find the value of: \frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan^{2} 30^{\circ}}
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star यदि \tan (A+B) = \sqrt{3} और \tan (A-B) = \frac{1}{\sqrt{3}}; 0^{\circ} < A+B \le 90^{\circ}; A > B हो, तो A और B का मान ज्ञात कीजिए। (If \tan (A+B) = \sqrt{3} and \tan (A-B) = \frac{1}{\sqrt{3}}; 0^{\circ} < A+B \le 90^{\circ}; A > B, find A and B.)
* \star\star\star\star\star सिद्ध कीजिए: (\sin A + \csc A)^2 + (\cos A + \sec A)^2 = 7 + \tan^2 A + \cot^2 A (Prove that: (\sin A + \csc A)^2 + (\cos A + \sec A)^2 = 7 + \tan^2 A + \cot^2 A)
15. त्रिज्या 14 \text{ cm} वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 45^{\circ} का कोण अंतरित करता है। संगत चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (\pi = \frac{22}{7} या 3.14) (2)
In a circle of radius 14 \text{ cm}, an arc subtends an angle of 45^{\circ} at the centre. Find the area of the sector formed by the arc. (\pi = \frac{22}{7} or 3.14)
अथवा / OR
7 \text{ cm} त्रिज्या वाले एक वृत्त के चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60^{\circ} है। (\pi = \frac{22}{7}) (2)
Find the length of the arc of a circle with radius 7 \text{ cm} and of angle 60^{\circ}. (\pi = \frac{22}{7})
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star त्रिज्या 21 \text{ cm} वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60^{\circ} का कोण अंतरित करता है। (i) चाप की लंबाई (ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (An arc of a circle of radius 21 \text{ cm} subtends an angle of 60^{\circ} at the centre. Find (i) the length of the arc and (ii) area of the sector formed by the arc.)
* एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 \text{ cm} है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में तय किए गए क्षेत्रफल का मान ज्ञात कीजिए। (The length of the minute hand of a clock is 14 \text{ cm}. Find the area swept by the minute hand in 5 minutes.)
16. दो खिलाड़ी A और B टेनिस का एक मैच खेलते हैं। यह ज्ञात है कि A द्वारा मैच जीतने की प्रायिकता 0.63 है। B के मैच जीतने की प्रायिकता क्या है? (2)
Two players A and B play a tennis match. It is known that the probability of A winning the match is 0.63. What is the probability of B winning the match?
अथवा / OR
एक पासे को एक बार फेंकने पर अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (2)
A die is thrown once. Find the probability of getting a prime number.
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star 52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (One card is drawn from a well-shuffled deck of 52 cards. Find the probability of getting a red face card.)
* एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा (i) लाल है? (ii) हरा नहीं है? (A box contains 5 red marbles, 8 white marbles and 4 green marbles. One marble is taken out of the box at random. What is the probability that the marble taken out is (i) red? (ii) not green?)
17. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद: (2)
(i) लाल हो?
(ii) लाल नहीं हो?
A bag contains 3 red and 5 black balls. A ball is drawn at random from the bag. What is the probability that the ball drawn is (i) red? (ii) not red?
अथवा / OR
52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (2)
One card is drawn from a well-shuffled deck of 52 cards. Find the probability of getting a red face card.
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star एक लीप वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (Find the probability of having 53 Sundays in a leap year.)
* अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: (i) ईंट की बेगम (ii) हुकुम का पत्ता। (One card is drawn from a well-shuffled deck of 52 cards. Find the probability of getting (i) the Queen of Diamonds (ii) a spade.)
18. गुणनखंड विधि द्वारा समीकरण 2x^{2}-5x+3=0 के मूल ज्ञात कीजिए। (3)
Find the roots of the equation 2x^{2}-5x+3=0 by factorisation.
अथवा / OR
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो। (3)
Find two consecutive positive integers, sum of whose squares is 365.
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का प्रयोग करके द्विघात समीकरण 2x^2 - 7x + 3 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए। (Find the roots of the quadratic equation 2x^2 - 7x + 3 = 0 by the method of completing the square.)
* द्विघात सूत्र का प्रयोग करके समीकरण 2x^2 - 4x + 3 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए। (Find the roots of the equation 2x^2 - 4x + 3 = 0 using the quadratic formula.)
19. सिद्ध करो कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। (3)
Prove that the lengths of tangents drawn from an external point to a circle are equal.
अथवा / OR
दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 \text{ cm} तथा 3 \text{ cm} हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है। (3)
Two concentric circles are of radii 5 \text{ cm} and 3 \text{ cm}. Find the length of the chord of the larger circle which touches the smaller circle.
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है। (Prove that the tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact.)
* सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं। (Prove that opposite sides of a quadrilateral circumscribing a circle subtend supplementary angles at the centre of the circle.)
20. दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 \text{ cm}^{3} है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (3)
Two cubes each of volume 64 \text{ cm}^{3} are joined end to end. Find the surface area of the resulting cuboid.
अथवा / OR
एक जूस (juice) बेचने वाला अपने ग्राहकों को आकृति में दर्शाए गिलासों में जूस देता था। बेलनाकार गिलास का आंतरिक व्यास 5 \text{ cm} था, परंतु गिलास के निचले आधार (तली) में एक उभरा हुआ अर्धगोला था, जिससे गिलास की धारिता कम हो जाती थी। यदि एक गिलास की ऊँचाई 10 \text{ cm} थी, तो गिलास की आभासी धारिता तथा उसकी वास्तविक धारिता ज्ञात कीजिए। (\pi = 3.14) (3)
A juice seller was serving his customers using glasses as shown in fig. The inner diameter of the cylindrical glass was 5 \text{ cm}, but the bottom of the glass had a hemispherical raised portion which reduced the capacity of the glass. If the height of a glass was 10 \text{ cm}, find the apparent capacity of the glass and its actual capacity. (\pi = 3.14)
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है, जिनकी त्रिज्याएँ 1 \text{ cm} हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन \pi के पदों में ज्ञात कीजिए। (A solid is in the shape of a cone standing on a hemisphere with both their radii being equal to 1 \text{ cm} and the height of the cone is equal to its radius. Find the volume of the solid in terms of \pi.)
* \star\star\star\star\star ऊँचाई 2.4 \text{ cm} और व्यास 1.4 \text{ cm} वाले एक ठोस बेलन में से उसी ऊँचाई और उसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (From a solid cylinder whose height is 2.4 \text{ cm} and diameter 1.4 \text{ cm}, a conical cavity of the same height and same diameter is hollowed out. Find the total surface area of the remaining solid to the nearest \text{ cm}^{2}.)
21. यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह \frac{9}{11} हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए तो वह \frac{5}{6} हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए। (4)
A fraction becomes \frac{9}{11} if 2 is added to both the numerator and the denominator. If 3 is added to both the numerator and the denominator it becomes \frac{5}{6}. Find the fraction.
अथवा / OR
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को विलोपन विधि से हल कीजिए: (4)
x+y=5
2x-3y=4
Solve the following pair of linear equations by elimination method:
इसी अध्याय से 2 अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न:
* \star\star\star\star\star दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए। (The difference between two numbers is 26 and one number is three times the other. Find them.)
* \star\star\star\star\star k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे? (For what value of k, will the following pair of linear equations have infinitely many solutions?):
kx + 3y - (k-3) = 0
12x + ky - k = 0
22. एक स्टैच्यू, 2 \text{ m} ऊँचे पेडेस्टल के शिखर पर लगी है। भूमि पर एक बिंदु से स्टैच्यू के शिखर का उन्नयन कोण 60^{\circ} है और उसी बिंदु से पेडेस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45^{\circ} है। पेडेस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (\sqrt{3} = 1.732 \text{ लीजिए}) (4)
A statue, 2 \text{ m} tall, stands on the top of a pedestal. From a point on the ground, the angle of elevation of the top of the statue is 60^{\circ} and from the same point the angle of elevation of the top of the pedestal is 45^{\circ}. Find the height of the pedestal. (\text{Use } \sqrt{3} = 1.732)
अथवा / OR
एक मीनार के पाद बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30^{\circ} है और भवन के पाद बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60^{\circ} है। यदि मीनार 45 \text{ m} ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (4)
The angle of elevation of the top of a building from the foot of
रिषि कोचिंग सेंटर
Roll No. T-0659 | Total Questions: 23 | Time: 3 Hours | Maximum Marks: 75
निर्देश (Instructions):
* सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
* प्रश्न क्रमांक 1 से 5 तक वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न हैं।
* प्रश्न क्रमांक 6 से 23 में आंतरिक विकल्प दिए गए हैं।
* जहाँ आवश्यक हो स्वच्छ एवं नामांकित चित्र बनाइए।
* अतिरिक्त निर्देश: प्रत्येक महत्वपूर्ण प्रश्न पर एक स्टार चिन्ह (*) लगा है।
1. सही विकल्प चुनकर लिखिए:
(i) द्विघात बहुपद ax^{2}+bx+c का आलेख का प्रकार होता है:
(a) सरल रेखा
(b) समान्तर रेखा
(c) परवलय
(d) वक्र रेखा
(ii) रैखिक समीकरण युग्म a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 एवं a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 आश्रित एवं संगत होता है, जब :-
(a) \frac{a_{1}}{a_{2}}\ne\frac{b_{1}}{b_{2}}
(b) \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{b_{1}}{a_{1}}=\frac{c_{1}}{a_{1}}
(c) \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}
(d) \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\ne\frac{c_{1}}{c_{2}}
(iii) द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 के कोई मूल वास्तविक नहीं होते यदि
(a) b^{2}+4ac>0
(b) b^{2}-4ac=0
(c) b^{2}-4ac>0
(d) b^{2}-4ac<0
(iv) A. P.: -3,}{2},2,...... का 11वाँ पद हैः
(a) 28
(b) 22
(c) -38
(d) -48\frac{1}{2}
(v) प्रसिद्ध यूनानी गणितज्ञ थेल्स का समय-काल हैः
(a) सा. यु. पू. 640 - 546
(b) 476 - 550 सा. यु.
(c) 1777 - 1855 ई. पू.
(d) सा. यु. पू. 770-850
(vi) बिन्दु P(3,2) और Q(-2,-3) के बीच की दूरी है:
(a) 7.09 लगभग
(b) 7.07 लगभग
(c) 7.21 लगभग
(d) 1.41 लगभग
2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
(i) \sqrt{3} एक अपरिमेय संख्या है।
(ii) चर x के बहुपद P(x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है।
(iii) द्विघाती समीकरण ax^{2}+bx+c=0 को हल करने हेतु द्विघाती सूत्र x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} है।
(iv) समान्तर श्रेढ़ी 7, 13, 19, ..... 205 में पदों की संख्या 34 है।
(v) सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
(vi) r त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड, जिसका कोण अंशों में \theta है, के संगत चाप की लम्बाई \frac{\theta}{360} \times 2\pi r होती है।
3. सत्य / असत्य लिखिए:
(i) वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को तिर्यक छेदी रेखा कहते हैं। (असत्य) (इसे छेदक रेखा या secant line कहते हैं।)
(ii) एक निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है। (सत्य)
(iii) अर्धगोले के आयतन का सूत्र \frac{1}{3}\pi r^{3} है जबकि गोले की त्रिज्या r है। (असत्य) (सही सूत्र \frac{2}{3}\pi r^{3} है)
(iv) त्रिकोणमितीय अनुपातों की सहायता से किसी वस्तु की ऊँचाई या लम्बाई या दो सुदूर वस्तुओं के बीच की दूरी ज्ञात की जा सकती है। (सत्य)
(v) दिए हुए प्रेक्षणों में वह मान जो सबसे अधिक बार आता है, माध्य कहलाता है। (असत्य) (वह मान बहुलक (Mode) कहलाता है)
(vi) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है। (सत्य)
4. सही जोड़ी मिलाइये:
| स्तम्भ "A" | स्तम्भ "B" | उत्तर |
|---|---|---|
| (i) sin^{2}25^{\circ}+cos^{2}25^{\circ} | (c) 1 | (c) |
| (ii) tan~\theta | (e) \frac{sin~\theta}{cos~\theta} | (e) |
| (iii) sec^{2}\theta-1 | (f) tan^{2}\theta | (f) |
| (iv) tan~30^{\circ} | (g) \frac{1}{\sqrt{3}} | (g) |
| (v) त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल | (d) \frac{\theta}{360}\pi r^{2} | (d) |
| (vi) अर्धगोले का आयतन | (b) \frac{2}{3}\pi r^{3} | (b) |
5. एक शब्द / वाक्य में उत्तर दीजिए:
(i) किसी A.P. के nवाँ पद ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।
उत्तर: a_n = a + (n-1)d
(ii) "आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय" का कथन लिखिए।
उत्तर: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो वे अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
(iii) वृत्त की "छेदक रेखा" की परिभाषा लिखिए।
उत्तर: वह रेखा जो वृत्त को दो भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद (काटती) करती है।
(iv) द्विघात बहुपद ax^{2}+bx+c के शून्यकों का गुणनफल का सूत्र लिखिए।
उत्तर: \frac{c}{a} (अचर पद / x^2 का गुणांक)
(v) वृत्त के स्पर्श बिन्दु की परिभाषा लिखिए।
उत्तर: वह बिन्दु जहाँ स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है।
(vi) एक वृत्त के वृत्तखंड के क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।
उत्तर: संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल
6. संख्याओं 6 और 20 का H.C.F. ज्ञात कीजिए। (2 अंक)
अथवा / OR
संख्या 140 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) सिद्ध कीजिए कि \sqrt{2} एक अपरिमेय संख्या है।
* (2) दो संख्याओं 306 और 657 का HCF 9 दिया है। इनका LCM ज्ञात कीजिए।
7. द्विघात बहुपद 3x^{2}-x-4 के शून्यक ज्ञात कीजिए। (2 अंक)
अथवा / OR
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योगफल 4 एवं गुणनफल 1 है।
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) यदि बहुपद x^2 + 7x + 10 के शून्यक \alpha और \beta हों, तो \alpha + \beta और \alpha\beta का मान ज्ञात कीजिए।
* (2) भाग एल्गोरिथम का प्रयोग करके P(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3 को g(x) = x^2 - 2 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
8. निम्नलिखित समीकरण युग्म के लिए \frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}} और \frac{c_{1}}{c_{2}} के अनुपात ज्ञात कीजिए और बताइए कि हल संगत है या असंगत है। (2 अंक)
अथवा / OR
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिएः
x+y=14
x-y=4
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) विलोपन विधि (Elimination Method) से समीकरण युग्म 2x+3y=11 और 2x-4y=-24 को हल कीजिए।
* (2) k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रैखिक समीकरण युग्म kx+3y = k-3 और 12x+ky=k के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
9. दी हुई A.P. के अगले दो पद लिखिए। (2 अंक)
अथवा / OR
नीचे दिए हुए योगफल को ज्ञात कीजिए।
34+32+30+......+10
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) A.P. में 10 और 250 के बीच 4 के कितने गुणज हैं?
* (2) उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
10. किसी \triangle PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। बताइए कि क्या EF||QR है जबकि PE=4~cm, QE=4.5~cm, PF=8~cm, RF=9~cm (2 अंक)
अथवा / OR
आकृति में यदि PQ || RS है, तो सिद्ध कीजिए \Delta POQ\sim\Delta SOR
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) थेल्स प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) का कथन लिखिए और इसे सिद्ध कीजिए।
* (2) 6 cm भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
11. बिन्दुओं (-5, 7) और (-1, 3) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (2 अंक)
अथवा / OR
निर्धारित कीजिए कि क्या बिन्दु (1, 5), (2, 3) और (-2, -11) संरेखी हैं।
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) बिन्दुओं A(2,-2) और B(-7,4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
* (2) x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए ताकि बिन्दु (x,y), बिन्दुओं (7,1) और (3,5) से समदूरस्थ (equidistant) हो।
12. y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P(2,-3) और Q(10,y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है। (2 अंक)
अथवा / OR
बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है, जिसका केन्द्र (2,-3) है तथा B के निर्देशांक (1,4) हैं।
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) बिन्दुओं (4,-1) और (-2,-3) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु (mid-point) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
* (2) त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, -1), (-4, 6) और (-3, -5) हैं।
13. यदि समकोण त्रिभुज ABC में \angle B= समकोण तथा AB=4~cm, BC=3~cm हो, तो \sin A और \cos A का मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)
अथवा / OR
मान ज्ञात कीजिएः
\sin 60^{\circ}\cos 30^{\circ}+\sin 30^{\circ}\cos 60^{\circ}
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) यदि 15\cot A = 8 है, तो \sin A और \sec A का मान ज्ञात कीजिए।
* (2) मान ज्ञात कीजिए: 2\tan^2 45^{\circ} + \cos^2 30^{\circ} - \sin^2 60^{\circ}।
14. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर होती हैं। (2 अंक)
अथवा / OR
एक बिन्दु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 सेमी तथा Q की केन्द्र से दूरी 25 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) सिद्ध कीजिए कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।
* (2) एक वृत्त के केंद्र से 5 cm दूर स्थित बिंदु A से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
15. 15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूंटे से एक घोड़े को 5 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है। ज्ञात कीजिए कि मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा चर सकता है। (2 अंक)
अथवा / OR
त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60^{\circ} का कोण अंतरित करता है। चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) 4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 30^{\circ} है।
* (2) 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 60^{\circ} का कोण अंतरित करती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
16. हम एक पासे को एक बार फेंकते हैं। ज्ञात कीजिए (2 अंक)
(i) 4 से बड़ी संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
(ii) 4 से छोटी संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
अथवा / OR
अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता परिकलित कीजिए कि यह पत्ता
(i) एक इक्का होगा
(ii) एक इक्का नहीं होगा
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) एक पासे को एक बार फेंका जाता है। (i) एक अभाज्य संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता, (ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
* (2) 52 पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। (i) लाल रंग का पत्ता, (ii) एक फेस कार्ड (Face Card) प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
17. असंभव घटना किसे कहते हैं? असंभव घटना की प्रायिकता का मान कितना होता है? (2 अंक)
अथवा / OR
यदि P(E) = 0.95 है, तो "E नहीं" की प्रायिकता क्या है?
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) किसी घटना E की प्रायिकता P(E) और 'घटना E नहीं' की प्रायिकता P(\bar{E}) में क्या संबंध है? सूत्र लिखिए।
* (2) एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली: (i) संतरे की महक वाली है? (ii) नींबू की महक वाली है?
18. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा 8, 9 और 25 का H.C.F. एवं L.C.M. ज्ञात कीजिए। (3 अंक)
अथवा / OR
दर्शाइए कि 7\sqrt{5} एक अपरिमेय संख्या है।
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) सिद्ध कीजिए कि \sqrt{3} एक अपरिमेय संख्या है।
* (2) व्याख्या कीजिए कि 7 \times 11 \times 13 + 13 और 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।
19. जाँच कीजिए कि x^{2}-2x = (-2)(3-x) एक द्विघात समीकरण है। (3 अंक)
अथवा / OR
द्विघात समीकरण 6x^{2}-x-2=0 के मूल ज्ञात कीजिए।
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) क्या (x+1)^2 = 2(x-3) एक द्विघात समीकरण है? जाँच कीजिए।
* (2) द्विघात समीकरण 2x^2 - 4x + 3 = 0 के मूलों की प्रकृति (nature of roots) ज्ञात कीजिए।
20. भूमि के एक बिन्दु से जो मीनार के पाद-बिन्दु से 25 मीटर की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60^{\circ} है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (3 अंक)
अथवा / OR
भूमि के एक बिन्दु से एक 20 मीटर ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45^{\circ} और 60^{\circ} हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) एक मीनार की ऊँचाई 15 मीटर है। जब सूर्य का उन्नयन कोण 30^{\circ} हो, तो मीनार की छाया की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
* (2) 8 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60^{\circ} है और उसके पाद का अवनमन कोण 45^{\circ} है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
21. रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए: (4 अंक)
3x+4y=10 और 2x-2y=2
अथवा / OR
दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 9:7 है और उनके खर्चों का अनुपात 4:3 है। यदि प्रत्येक व्यक्ति प्रति माह ₹ 2000 बचा लेता है, तो उनकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।
* (2) एक भिन्न 1/3 हो जाती है जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
22. दवा का एक कैप्सूल एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा हुआ है। पूरे कैप्सूल की लम्बाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (4 अंक)
अथवा / OR
एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है, जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 सेमी \times 10 सेमी \times 3.5 सेमी हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 सेमी है और गहराई 1.4 सेमी है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है, जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन (\pi के पदों में) ज्ञात कीजिए।
* (2) धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के छिन्नक (frustum) के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 cm है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 20 cm हैं। बर्तन की धारिता (आयतन) ज्ञात कीजिए।
23. निम्नलिखित सारिणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है। (4 अंक)
एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।
| दैनिक व्यय (रुपयों में) | 100-150 | 150-200 | 200-250 | 250-300 | 300-350 |
|---|---|---|---|---|---|
| परिवारों की संख्या | 4 | 5 | 12 | 2 | 2 |
अथवा / OR
निम्नलिखित आँकड़े 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते हैं। उपकरणों का बहुलक जीवन काल ज्ञात कीजिए।
| जीवन काल (घंटों में) | 0-20 | 20-40 | 40-60 | 60-80 | 80-100 | 100-120 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| बारंबारता | 10 | 35 | 52 | 61 | 38 | 29 |
*अतिरिक्त महत्वपूर्ण प्रश्न*
* (1) निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य ज्ञात करने के लिए कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method) का प्रयोग कीजिए। (नोट: प्रश्न में दी गई सारणी का उपयोग करें या कोई अन्य उपयुक्त सारणी लें।)
* (2) निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक (Median) ज्ञात कीजिए। (नोट: प्रश्न में दी गई सारणी का उपयोग करें या कोई अन्य उपयुक्त सारणी लें।,
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